Elektrotechnik – 4. Magnetismus I

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

4. Magnetismus

1. Magnetisches Feld
2. Kräfte im magnetischen Feld
3. Magnetische Feldgrößen und Durchflutungsgesetz
4. Materie im Magnetfeld
5. Der magnetische Kreis
6. Kraft am Luftspalt

Elektrizität & Magnetismus

... sind untrennbar verbunden. Eine konsistente Naturbeschreibung erfordert beide.

Grenzfälle:

• Ruhende Ladungen → Elektrostatik
• Konstante Stromverteilungen → Magnetostatik
• Langsam bewegte Ladungen & langsam veränderliche Ströme → Quasistatik
• Allgemeiner Fall → Elektrodynamik

Magnetpole

• Magnete besitzen immer zwei Pole: Nordpol (N) und Südpol (S)
  • Nordpol = Pol, der auf der Erde nach Norden zeigt
• Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige Pole ziehen sich an

Kräfte zwischen elektrischen Leitern

Zwei parallele, stromdurchflossene Leiter üben eine Kraft aufeinander aus:

Magnetfelder entstehen durch bewegte elektrische Ladungen (Ströme).

Im SI-System gilt mit

Wichtiger Unterschied zur Elektrostatik

• In der Elektrostatik haben wir die Feldstärke über die Kraft definiert:
• In der Magnetostatik geht das nicht so einfach, da die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt
• Experimentell lassen sich Feldlinien durch die Ausrichtung kleiner Permanentmagnete (Kompassnadeln) sichtbar machen

Magnetische Feldlinien

• Magnetische Feldlinien zeigen in die Richtung, in die sich der Nordpol eines kleinen Testmagneten ausrichten würde: N → S außerhalb des Magneten
• Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen (keine magnetischen Monopole!)
• Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Magnetfeldes

Magnetische Flussdichte

Die magnetische Flussdichte zeigt entlang der magnetischen Feldlinien. Ihr Betrag ist proportional zur Dichte der Feldlinien.

Rechte-Faust-Regel

• Ein gerader, stromdurchflossener Leiter erzeugt ein ringförmiges Magnetfeld. Wenn der Daumen der Faust in Stromrichtung zeigt, zeigen die gekrümmten Finger in Feldrichtung
• Alternativ: Eindrehen einer Schraube in Stromrichtung → Drehrichtung der Schraube entspricht der Feldlinienrichtung

Magnetische Flussdichte eines stromdurchflossenen Leiters

Im Abstand von einem geraden, unendlich langen Leiter:

Einheit: das Tesla

Zahlenbeispiel (→ Tafel): Wie viel Strom braucht man für 1 T in 1 m Abstand?

Größenordnung der magnetischen Flussdichte

Kräfte im magnetischen Feld

Lorentzkraft auf bewegte Ladung:

Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:

• Skalar (wenn ):
• Rechte-Hand-Regel: Daumen = Stromrichtung, Zeigefinger = Feldrichtung, Mittelfinger = Kraftrichtung

Bewegte Ladung im Magnetfeld

Kreisbewegung:

• Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft:
• Bahnradius:
• Umlauffrequenz: (unabhängig von !)

Anwendungen: Teilchenbeschleuniger (Zyklotron), Massenspektrometer

Vergleich: Elektrisches und magnetisches Feld

Elektrostatisches Feld = Quellenfeld, wirbelfrei
Magnetostatisches Feld = quellenfrei, Wirbelfeld

Magnetischer Fluss

Der magnetische Fluss durch eine Fläche :

Einheit: (Weber)

Da das magnetische Feld quellenfrei ist, gilt für jede geschlossene Fläche:

(Vergleiche: Satz von Gauß, )

Magnetische Feldstärke

Die magnetische Feldstärke beschreibt die Fähigkeit eines elektrischen Stroms, ein Magnetfeld zu erzeugen.

Zusammenhang mit der magnetischen Flussdichte (im Vakuum):

Einheit:

Beispiel: gerader stromdurchflossener Leiter (Abstand ):

Durchflutungsgesetz (Ampèresches Gesetz)

Die Summe der magnetischen Feldstärke längs eines geschlossenen Weges ist gleich der Gesamtstromdurchflutung:

Erinnerung: in der Elektrostatik gilt aufgrund der Wegunabhängigkeit des Potentials:

Vergleich: Gaußsches Gesetz und Ampèresches Gesetz

Anwendung bei Symmetrie:

• Gauß → Kugel-, Zylinder-, Plattensymmetrie für Ladungen
• Ampère → Zylinder-, Ebenen-, Toroidsymmetrie für Ströme

Magnetfeld einer langen Spule

Lange Spule mit Windungen, Länge , Strom . Durchflutungsgesetz:

Im Inneren der Spule (Luft):

Außerhalb:

Mit einem Eisenkern wird um ein Vielfaches größer – dazu gleich beim Magnetfeld in Materie.

Aufgabe 11: Magnetfelder berechnen

a) Eine lange Spule hat Windungen auf und führt . Wie groß sind und im Inneren (Luft)? Vergleichen Sie mit dem Erdmagnetfeld!

b) Bei einer langen Doppelleitung (Hin- und Rückleiter) beträgt der Achsabstand ; der Strom ist . Berechnen Sie allgemein den Betrag der magnetischen Feldstärke auf der Verbindungslinie zwischen den Leitern und werten Sie ihn in der Mitte aus. (Tipp: Superposition – beide Beiträge addieren sich dort!)

Magnetisches Verhalten von Materie

Ähnlich wie bei Dielektrika im elektrischen Feld reagiert Materie im Magnetfeld durch Magnetisierung.

Magnetische Dipole in Atomen:

• Elektronen haben einen intrinsischen Spin (magnetischer Dipol)
• Bahnbewegung der Elektronen erzeugt Bahnmagnetismus
• Jedes Elektron ist ein winziger Permanentmagnet – makroskopische Magnete entstehen durch Ausrichtung vieler Spins

Magnetische Suszeptibilität und Permeabilität

Die Magnetisierung ist proportional zur magnetischen Feldstärke :

Reaktion auf äußeres Feld:

• Diamagnetismus: gegen das äußere Feld (, )
• Paramagnetismus: mit dem äußeren Feld (, )
• Ferromagnetismus: starke Ausrichtung ()

Magnetische Eigenschaften der Elemente

(S. Zurek, Encyclopedia Magnetica, CC-BY-SA 4.0)

Diamagnetismus

• Tritt in allen Materialien auf; (sehr klein), knapp unter 1
• Mechanismus: externes Feld induziert Änderung der Elektronenbahnen → magnetisches Moment entgegen dem äußeren Feld
• Effekt verschwindet mit dem Feld

Beispiele: Kupfer, Silber, Gold, Wasser, organische Materialien

Kuriosum: Diamagnete können in starken Feldern schweben →

Paramagnetismus

• Atome besitzen permanente magnetische Dipole; (klein), knapp über 1
• Ohne Feld: zufällige Ausrichtung (thermische Bewegung); mit Feld: partielle Ausrichtung parallel
• Paramagnete werden schwach von Magneten angezogen; stärker bei tiefen Temperaturen

Beispiele: Aluminium, Platin, Sauerstoff

Merken für die Praxis: Aluminium ist nicht ferromagnetisch – ein Elektromagnet hebt keine Alu-Platten!

Ferromagnetismus

• Sehr starke Magnetisierung: (bis zu !)
• Spontane Magnetisierung auch ohne externes Feld möglich
• Mechanismus: starke Wechselwirkung benachbarter Atome (Austauschwechselwirkung) → Bildung von Weiss’schen Bezirken (Domänen), die ein externes Feld ausrichtet

Beispiele: Eisen, Kobalt, Nickel

Weiss’sche Bezirke

• Bereiche mit gleich orientierten magnetischen Dipolen
• Spontane Magnetisierung innerhalb der Bezirke

Ohne äußeres Feld: Bezirke zufällig orientiert → keine Gesamtmagnetisierung
Mit äußerem Feld: Bezirke richten sich aus; bei Sättigung einheitlich

Ferromagnetismus: Hysterese

Kenngrößen:

• Sättigungsmagnetisierung (1): maximale Magnetisierung
• Remanenz (2): verbleibende Flussdichte bei verschwindendem äußeren Feld
• Koerzitivfeldstärke (3): Feldstärke zum Entmagnetisieren

Die Magnetisierung hängt von der Vorgeschichte ab – ist keine eindeutige Funktion!

Harte/weiche Magnete

• Weichmagnetische Materialien:

  • Schmale Hysteresekurve: leicht magnetisier- und entmagnetisierbar
  • Anwendung: Transformatoren, Elektromagnete

• Hartmagnetische Materialien:

  • Breite Hysteresekurve: behalten ihre Magnetisierung
  • Anwendung: Permanentmagnete, Motoren, Lautsprecher

Magnetisches Feld und Magnetisierung

Magnetisierung : magnetisches Dipolmoment pro Volumeneinheit

Konvention: beschreibt das durch freie Ströme erzeugte Feld – ohne Beiträge der Magnetisierung (vgl. und freie Ladungen in der Elektrostatik!).

Vorteil: Das Durchflutungsgesetz gilt unverändert:

Übersicht: Größen in der Magnetostatik

Aufgabe 12: Materie im Magnetfeld

a) Ein Elektromagnet soll in einer Recyclinganlage Metallteile sortieren. Kann er Aluminiumplatten anheben? Stahlplatten? (Mit Begründung!)

b) Lesen Sie aus der Hysteresekurve (vorige Folie) ab: Welche Größe muss ein Material für einen guten Permanentmagneten besitzen – und welche für einen guten Transformatorkern? (Mit Begründung!)

c) Ein Eisenkern wurde aufmagnetisiert und der Spulenstrom danach abgeschaltet. Warum ist im Kern nicht null?

Zwischenstand – und nächste Woche: Übungsklausur!

Heute: Magnetfeld (, , , ), Kräfte (, ), Durchflutungsgesetz, Materie (dia/para/ferro, Hysterese)

Nächste Woche: Übungsklausur unter Klausurbedingungen

• Stoff: Kapitel 1–3 (Einheiten, E-Feld, Gleichstrom)
• 60 Minuten, keine Hilfsmittel – wie in der echten Prüfung
• Mit „Ersatzwerten" wie im Original: wenn Sie eine Teilaufgabe nicht lösen, rechnen Sie mit dem Ersatzwert weiter!
• Danach: ausführliche Besprechung

In zwei Wochen: der magnetische Kreis – Magnetfelder berechnen wie Stromkreise.

Vertiefung

Für alle, die es genauer wissen wollen

Vertiefung: Magnetfeld in einem Tokamak

Vertiefung: Magnetfeld in einem Tokamak

Ringförmiges Fusionsreaktor-Design mit toroidalem Magnetfeld zum Plasmaeinschluss.

Toroidale Feldspulen (TF): Spulen, Windungen, Strom ; Ampèresches Gesetz auf kreisförmigem Weg (Radius ):

Feld nimmt mit ab (inhomogen); typisch

Beispiel ITER: 18 TF-Spulen, 134 Windungen, 68 kA → B = 5,3 T bei 6,2 m Radius